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Paradoxe de Penney Cette énigme mathématique a été énoncée en 1969 par Walter Penney40 puis reprise en détail plus tard par Martin Gardner en 197441,42. Deux joueurs A et B s'affrontent dans une série de lancers de pièce. Chacun d'eux choisit une configuration formée d'une suite de trois piles ou faces. Par exemple, A choisit la configuration PPF = (pile, pile, face), et B la configuration FPP(= face, pile, pile). On lance ensuite une pièce plusieurs fois de suite jusqu'à ce qu'une des deux configurations apparaissent, désignant ainsi le gagnant. Avec les configurations précédentes, le jeu n'est pas équilibré. B a trois fois plus de chance de gagner que A. En effet, distinguons les différents cas : Si le premier lancer est face, alors quoi qu'il arrive B va finir par gagner. En effet, A ne peut plus gagner car il lui faudrait obtenir PP puis F, or au moment où PP arrive, il y a alors FPP : B a gagné. Si les deux premiers lancers sont pile puis face, pour la même raison, B gagne. Si les deux premiers lancers sont pile puis pile, alors quoi qu'il arrive A gagne. Ainsi, sur les quatre configurations possibles des deux premiers lancers (FF, FP, PF, PP), trois mènent à la victoire de B tandis qu'une seule permet à A de gagner. Ces quatre configurations étant équiprobables, il en résulte que B a bien trois fois plus de chance de gagner que A. Un double paradoxe apparaît alors43 : En premier lieu, la configuration FPP apparaît plus probablement avant la configuration PPF. Pourtant, on montre que les temps d'arrêt des deux configurations ont la même espérance : en moyenne, il faut lancer la pièce huit fois pour obtenir l'une ou l'autre des deux configurations. D'autre part, les configurations ayant la même espérance de temps d'arrêt que ci-dessus sont PPF, PFF, FFP et FPP, mais il est plus probable que PPF arrive avant PFF (deux chances contre une), que PFF arrive avant FFP (trois chances contre une), que FFP arrive avant FPP (deux chances contre une) et que FPP arrive avant PPF (trois chances contre une). Ainsi, il est impossible d'établir une relation d'ordre sur l'ensemble des configurations reflétant leur probabilité de gagner, puisque la hiérarchie entre configuration n'est pas transitive. Si le jeu est modifié pour que le second joueur choisisse sa configuration après le premier, on obtient une variante probabiliste du jeu pierre-papier-ciseaux.

La mudrā (devanāgarī : मुद्रा, qui signifie « signe » ou « sceau »1, en pali : muddā) est un terme sanskrit qui désigne une position codifiée et symbolique des mains d'une personne (danseur, yogi) ou de la représentation artistique (peinture, sculpture) d'un personnage ou d'une divinité2. L'origine des mudrās est très ancienne et se rattache à la culture védique.

« Triche » robotique Des chercheurs du laboratoire Ishikawa Oku de l'université de Tokyo ont réussi à fabriquer un robot battant systématiquement un joueur humain au jeu pierre-feuille-ciseaux. Il s'agit d'une application des techniques de « reconnaissance d'intention », où le robot « triche » en observant le mouvement de la main de son adversaire et en prenant sa décision très rapidement en fonction de ce mouvemen

En économie, mais aussi en mathématiques, et plus particulièrement en théorie des jeux, le problème du partage équitable, connu aussi sous le nom de problème de partage du gâteau (de l'anglais cake cutting problem), est le problème du partage d'une ressource de telle sorte que tous les participants estiment en avoir reçu une part « satisfaisante ». Le problème peut s'avérer plus simple si chaque participant a une mesure différente de la valeur de la ressource : dans le cas du gâteau, l'un peut aimer la pâte d'amandes, l'autre préférer les cerises, et ainsi de suite ; dans ce cas, il est même possible que chacun des n participants reçoive plus que le n-ème de ce que serait la valeur du « gâteau » pour lui. Mais en général, la présence de mesures distinctes fait apparaître de nombreuses questions difficiles, et donne lieu à des recherches encore ouvertes. Il y a de nombreuses variantes du problème. La définition de « équitable » peut simplement signifier que chacun reçoit ce qu'il estime être une juste fraction du total, ou des contraintes plus sévères telles que l’absence d'envie peuvent aussi être imposées. Les algorithmes théoriques s'intéressent essentiellement aux biens qui peuvent être partagés sans perdre de valeur, mais le partage de biens indivisibles, comme dans le cas d'un divorce, est également un problème pratique important. Le partage des tâches est une variante où les biens à partager sont indésirables.

Les relations « entre nations » ont depuis longtemps été un objet d'étude, mais les relations internationales, en tant que discipline scientifique, sont nées après la Première Guerre mondiale. Le terme international se réfère, d’après Bentham1 et Hegel2, aux États. Les courants de philosophie politique considèrent que les relations d’un État à l’extérieur de son territoire, relations « entre nations » ou internationales, se déroulent dans l’anarchie. Pour Hegel, « les conflits entre États, lorsque les volontés particulières ne trouvent pas de terrain d'entente, ne peuvent être réglés que par la guerre »[réf. souhaitée]. Selon Carl Schmitt (1922, 1933, 1938), l'autonomie étatique repose sur la possibilité de l'État de s'autoconserver, en dehors même de la norme juridique, par une action qui prouvera cette souveraineté. Le propos des théories internationales a été, de tout temps, d’étudier celles-ci sous différents angles, le réalisme, le libéralisme et le constructivisme étant les principaux, dans le but d’expliquer, d’éclairer ou même d'influer sur les politiques internationales pour trouver d’autres solutions que la guerre. De façon quasi concomitante au développement de cette discipline est apparue la théorie des jeux, conçue par des mathématiciens (John von Neumann, John Forbes Nash, John Harsanyi et Reinhard Selten parmi les pionniers) et se proposant d’expliquer à l’aide d’outils analytiques les interactions stratégiques entre acteurs. Son essor depuis les années 50, dans un contexte de guerre froide marqué par le jeu des puissances étatiques américaine et russe principalement, ne pouvait que naturellement conduire les théoriciens des Relations internationales3 à s’intéresser de plus près à cet ensemble d’outils. Déjà le général prussien Carl von Clausewitz dans son traité De la Guerre (Vom Krieg, 1832) considérait la guerre comme la continuation de la politique par d’autres moyens, autrement dit : une arme de négociation parmi d’autres. Ne parle-t-on pas de jeu des relations internationales ? « Le jeu étant alors une interaction stratégique entre deux États, le choix de l’un influençant la situation de l’autre » (Eber 2004).

Les jeux de hasard raisonné sont des jeux où le hasard intervient mais n'est pas le seul élément déterminant la victoire. Le joueur doit opérer des choix pour tirer le meilleur parti du résultat des dés ou des cartes. Si aucun choix n'est laissé aux joueurs, on parle alors de jeu de hasard pur.

Jeux partiellement résolus Échecs La résolution complète du jeu d'échecs reste inatteignable, et il est conjecturé que la complexité du jeu peut empêcher qu'il soit jamais résolu. Par analyse rétrograde par ordinateur, des tables de finale (des solutions fortes) ont été trouvées pour toutes les finales comportant de trois à sept pièces, et certains à huit pièces, en comptant les deux rois parmi les pièces. Certaines variantes du jeu d'échecs sur un plus petit plateau avec un nombre réduit de pièces (Mini-échecs) ont été résolues. Certaines autres variantes ont également été résolues ; par exemple une résolution faible de Maharadjah et cipayes est une série facilement mémorable de mouvements qui assure la victoire du joueur cipayes. Go Le plateau 5×5 est faiblement résolu pour tous les coups d'ouverture25. Les humains jouent d'habitude sur un plateau 19×19, qui est d'un ordre de grandeur de complexité plus de 145 fois supérieur au plateau 7×726. Jeu de dames Toutes les positions de fin de partie comportant de deux à sept pièces ont été résolues, ainsi que des combinaisons en 4×4 et 5×3 pièces dont chaque côté avait une dame ou moins, les positions avec cinq pions et quatre pions, les positions avec cinq pions contre trois pions et une dame, ainsi que les positions avec quatre pions et un roi contre quatre pions. Les finales ont été résolues en 2007 par l'américain Ed Gilbert. Une analyse par ordinateur a montré qu'il était très probable de finir en nul si les deux joueurs ont joué à la perfection27. Morpion Il est trivial de montrer que le deuxième joueur ne peut pas gagner ; voir la démonstration par vol de stratégie. Presque tous les cas ont été résolus faiblement pour k ≤ 4. Certains résultats sont connus pour k = 5. Les jeux sont nuls pour k ≥ 8. Reversi (Othello) Faiblement résolu sur un plateau 4×4 et 6×6 pour une victoire du second joueur, en juillet 1993 par Joel Feinstein28. Sur un plateau 8×8 (le standard), il n'est mathématiquement pas résolu, bien que l'analyse par ordinateur montre un probable nul. Il n'existe aucune estimation que les chances de gain du premier joueur (Noir) augmentent sur des plateau 10×10 et plus.