Paradoxe de Penney Cette énigme mathématique a été énoncée en 1969 par Walter Penney40 puis reprise en détail plus tard par Martin Gardner en 197441,42. Deux joueurs A et B s'affrontent dans une série de lancers de pièce. Chacun d'eux choisit une configuration formée d'une suite de trois piles ou faces. Par exemple, A choisit la configuration PPF = (pile, pile, face), et B la configuration FPP(= face, pile, pile). On lance ensuite une pièce plusieurs fois de suite jusqu'à ce qu'une des deux configurations apparaissent, désignant ainsi le gagnant. Avec les configurations précédentes, le jeu n'est pas équilibré. B a trois fois plus de chance de gagner que A. En effet, distinguons les différents cas : Si le premier lancer est face, alors quoi qu'il arrive B va finir par gagner. En effet, A ne peut plus gagner car il lui faudrait obtenir PP puis F, or au moment où PP arrive, il y a alors FPP : B a gagné. Si les deux premiers lancers sont pile puis face, pour la même raison, B gagne. Si les deux premiers lancers sont pile puis pile, alors quoi qu'il arrive A gagne. Ainsi, sur les quatre configurations possibles des deux premiers lancers (FF, FP, PF, PP), trois mènent à la victoire de B tandis qu'une seule permet à A de gagner. Ces quatre configurations étant équiprobables, il en résulte que B a bien trois fois plus de chance de gagner que A. Un double paradoxe apparaît alors43 : En premier lieu, la configuration FPP apparaît plus probablement avant la configuration PPF. Pourtant, on montre que les temps d'arrêt des deux configurations ont la même espérance : en moyenne, il faut lancer la pièce huit fois pour obtenir l'une ou l'autre des deux configurations. D'autre part, les configurations ayant la même espérance de temps d'arrêt que ci-dessus sont PPF, PFF, FFP et FPP, mais il est plus probable que PPF arrive avant PFF (deux chances contre une), que PFF arrive avant FFP (trois chances contre une), que FFP arrive avant FPP (deux chances contre une) et que FPP arrive avant PPF (trois chances contre une). Ainsi, il est impossible d'établir une relation d'ordre sur l'ensemble des configurations reflétant leur probabilité de gagner, puisque la hiérarchie entre configuration n'est pas transitive. Si le jeu est modifié pour que le second joueur choisisse sa configuration après le premier, on obtient une variante probabiliste du jeu pierre-papier-ciseaux.

La mudrā (devanāgarī : मुद्रा, qui signifie « signe » ou « sceau »1, en pali : muddā) est un terme sanskrit qui désigne une position codifiée et symbolique des mains d'une personne (danseur, yogi) ou de la représentation artistique (peinture, sculpture) d'un personnage ou d'une divinité2. L'origine des mudrās est très ancienne et se rattache à la culture védique.

« Triche » robotique Des chercheurs du laboratoire Ishikawa Oku de l'université de Tokyo ont réussi à fabriquer un robot battant systématiquement un joueur humain au jeu pierre-feuille-ciseaux. Il s'agit d'une application des techniques de « reconnaissance d'intention », où le robot « triche » en observant le mouvement de la main de son adversaire et en prenant sa décision très rapidement en fonction de ce mouvemen

En économie, mais aussi en mathématiques, et plus particulièrement en théorie des jeux, le problème du partage équitable, connu aussi sous le nom de problème de partage du gâteau (de l'anglais cake cutting problem), est le problème du partage d'une ressource de telle sorte que tous les participants estiment en avoir reçu une part « satisfaisante ». Le problème peut s'avérer plus simple si chaque participant a une mesure différente de la valeur de la ressource : dans le cas du gâteau, l'un peut aimer la pâte d'amandes, l'autre préférer les cerises, et ainsi de suite ; dans ce cas, il est même possible que chacun des n participants reçoive plus que le n-ème de ce que serait la valeur du « gâteau » pour lui. Mais en général, la présence de mesures distinctes fait apparaître de nombreuses questions difficiles, et donne lieu à des recherches encore ouvertes. Il y a de nombreuses variantes du problème. La définition de « équitable » peut simplement signifier que chacun reçoit ce qu'il estime être une juste fraction du total, ou des contraintes plus sévères telles que l’absence d'envie peuvent aussi être imposées. Les algorithmes théoriques s'intéressent essentiellement aux biens qui peuvent être partagés sans perdre de valeur, mais le partage de biens indivisibles, comme dans le cas d'un divorce, est également un problème pratique important. Le partage des tâches est une variante où les biens à partager sont indésirables.

Les relations « entre nations » ont depuis longtemps été un objet d'étude, mais les relations internationales, en tant que discipline scientifique, sont nées après la Première Guerre mondiale. Le terme international se réfère, d’après Bentham1 et Hegel2, aux États. Les courants de philosophie politique considèrent que les relations d’un État à l’extérieur de son territoire, relations « entre nations » ou internationales, se déroulent dans l’anarchie. Pour Hegel, « les conflits entre États, lorsque les volontés particulières ne trouvent pas de terrain d'entente, ne peuvent être réglés que par la guerre »[réf. souhaitée]. Selon Carl Schmitt (1922, 1933, 1938), l'autonomie étatique repose sur la possibilité de l'État de s'autoconserver, en dehors même de la norme juridique, par une action qui prouvera cette souveraineté. Le propos des théories internationales a été, de tout temps, d’étudier celles-ci sous différents angles, le réalisme, le libéralisme et le constructivisme étant les principaux, dans le but d’expliquer, d’éclairer ou même d'influer sur les politiques internationales pour trouver d’autres solutions que la guerre. De façon quasi concomitante au développement de cette discipline est apparue la théorie des jeux, conçue par des mathématiciens (John von Neumann, John Forbes Nash, John Harsanyi et Reinhard Selten parmi les pionniers) et se proposant d’expliquer à l’aide d’outils analytiques les interactions stratégiques entre acteurs. Son essor depuis les années 50, dans un contexte de guerre froide marqué par le jeu des puissances étatiques américaine et russe principalement, ne pouvait que naturellement conduire les théoriciens des Relations internationales3 à s’intéresser de plus près à cet ensemble d’outils. Déjà le général prussien Carl von Clausewitz dans son traité De la Guerre (Vom Krieg, 1832) considérait la guerre comme la continuation de la politique par d’autres moyens, autrement dit : une arme de négociation parmi d’autres. Ne parle-t-on pas de jeu des relations internationales ? « Le jeu étant alors une interaction stratégique entre deux États, le choix de l’un influençant la situation de l’autre » (Eber 2004).

Les jeux de hasard raisonné sont des jeux où le hasard intervient mais n'est pas le seul élément déterminant la victoire. Le joueur doit opérer des choix pour tirer le meilleur parti du résultat des dés ou des cartes. Si aucun choix n'est laissé aux joueurs, on parle alors de jeu de hasard pur.

Jeux partiellement résolus Échecs La résolution complète du jeu d'échecs reste inatteignable, et il est conjecturé que la complexité du jeu peut empêcher qu'il soit jamais résolu. Par analyse rétrograde par ordinateur, des tables de finale (des solutions fortes) ont été trouvées pour toutes les finales comportant de trois à sept pièces, et certains à huit pièces, en comptant les deux rois parmi les pièces. Certaines variantes du jeu d'échecs sur un plus petit plateau avec un nombre réduit de pièces (Mini-échecs) ont été résolues. Certaines autres variantes ont également été résolues ; par exemple une résolution faible de Maharadjah et cipayes est une série facilement mémorable de mouvements qui assure la victoire du joueur cipayes. Go Le plateau 5×5 est faiblement résolu pour tous les coups d'ouverture25. Les humains jouent d'habitude sur un plateau 19×19, qui est d'un ordre de grandeur de complexité plus de 145 fois supérieur au plateau 7×726. Jeu de dames Toutes les positions de fin de partie comportant de deux à sept pièces ont été résolues, ainsi que des combinaisons en 4×4 et 5×3 pièces dont chaque côté avait une dame ou moins, les positions avec cinq pions et quatre pions, les positions avec cinq pions contre trois pions et une dame, ainsi que les positions avec quatre pions et un roi contre quatre pions. Les finales ont été résolues en 2007 par l'américain Ed Gilbert. Une analyse par ordinateur a montré qu'il était très probable de finir en nul si les deux joueurs ont joué à la perfection27. Morpion Il est trivial de montrer que le deuxième joueur ne peut pas gagner ; voir la démonstration par vol de stratégie. Presque tous les cas ont été résolus faiblement pour k ≤ 4. Certains résultats sont connus pour k = 5. Les jeux sont nuls pour k ≥ 8. Reversi (Othello) Faiblement résolu sur un plateau 4×4 et 6×6 pour une victoire du second joueur, en juillet 1993 par Joel Feinstein28. Sur un plateau 8×8 (le standard), il n'est mathématiquement pas résolu, bien que l'analyse par ordinateur montre un probable nul. Il n'existe aucune estimation que les chances de gain du premier joueur (Noir) augmentent sur des plateau 10×10 et plus.

Jeux résolus Awalé (un jeu de la famille du Mancala ) La variante Oware permettant une fin de jeu "grand chelem" a été fortement résolue par Henri Bal (en) et Jean Romein à l'Université libre d'Amsterdam aux Pays-Bas (2002). Chaque joueur peut forcer le jeu vers un match nul. Il est à noter que le maître espagnol d'Oware Viktor Bautista i Roca a annoncé sur son ancienne page d'accueil manqala.org que le "Awari Oracle" (entièrement fondé sur les recherches de Bal et Romein) avait plusieurs défauts dans la phase finale et qu'on peut donc douter que la solution de Bal et Romein soit valide. Cependant, les deux sites (manqala.org et l'Oracle) ont été retirés d'internet et aucune nouvelle recherche ne semble possible. Cela révèle un problème majeur : la plupart des recherches effectuées dans le domaine de la résolution des jeux n'est pas entièrement revue par les pairs. Des petites erreurs dans la programmation, qui néanmoins peuvent donner des résultats très différents, passent généralement inaperçues. Dames anglaises Cette variante 8×8 du jeu de dames a été faiblement résolue le 29 avril 2007 par l'équipe de Jonathan Schaeffer, connu pour Chinook, le « Champion du Monde de dames Homme-Machine ». À partir de la position standard de départ, les deux joueurs peuvent garantir un nul avec le jeu parfait6. Le jeu de Dames est le plus grand jeu qui ait été résolu à ce jour, avec un espace de recherche de 5×10207. Le nombre de calculs à réaliser était de 1014, qui ont été réalisés sur une période de 18 ans. Le processus a impliqué de 200 ordinateurs de bureau à son apogée, jusqu'à environ 508. Dobutsu shogi Fortement résolu. Le jeu aboutit à une victoire du joueur ne commençant pas9. Fanorona Faiblement résolu par Maarten Schadd. Le jeu aboutit à un nul. Gomoku libre Résolu par Victor Allis (en) (1993). Le premier joueur peut forcer une victoire sans les règles d'ouverture. Ghost (en) Résolu par Alan Frank à l'aide du Dictionnaire officiel du jeu de Scrabble (en) en 1987. Hex Une démonstration par vol de stratégie (comme utilisée par John Nash) montre que tous les plateaux de taille carrée peuvent ne pas être perdus par le premier joueur. Combiné avec une preuve de l'impossibilité d'un nul, cela montre que le jeu est ultra-faiblement résolu comme une victoire du premier joueur. Fortement résolu par plusieurs ordinateurs pour des plateaux de taille allant jusqu'à 6×6. Jing Yang a démontré une stratégie gagnante (résolution faible) pour les plateaux de tailles 7×7, 8×8 et 9×9. Une stratégie gagnante pour Hex avec la Règle du gâteau est connue pour le plateau de taille 7×7. Une résolution forte de hex sur un plateau de taille N×N est peu probable vu que le problème a été montré comme étant PSPACE-complet. Si le jeu de Hex est joué sur un plateau de taille N × N+1, alors le joueur qui a la plus courte distance pour se connecter peut toujours gagner par une simple stratégie d'appariement, même avec le désavantage de jouer en second. Une résolution faible est connue pour tous les coups de l'ouverture sur un plateau 8×810. Hexapawn La variante 3×3 est résolue comme une victoire pour le noir, plusieurs autres variantes plus grandes sont également résolues11. Le jeu des baguettes (en) Le second joueur peut toujours forcer une victoire12. Kalah La plupart des variantes ont été résolues par Geoffrey Irving, Jeroen Donkers et Jos Uiterwijk (2000) à l'exception de Kalah (6/6). La variante (6/6) a été résolue par Anders Carstensen (2011). Un avantage fort pour le premier joueur a été prouvé dans la plupart des cas13,14. Mark Rawlings a quantifié l'ampleur de la première victoire de joueur dans la variante (6/6) (2015). Après la création d'une bases de données de finales d'une taille de 39 giga-octets, et des recherches totalisant 106 jours de temps de processeur et de plus de 55 billions de nœuds, il a été prouvé que, avec le jeu parfait, le premier joueur gagne par 2. Il est à noter que tous ces résultats font référence à la variante "Empty-pit Capture" et sont donc d'un intérêt très limité pour le jeu standard. Une analyse du jeu avec la règle standard a été établie pour Kalah (6,4), qui est une victoire par 8 pour le premier joueur, et Kalah (6,5), qui est une victoire par 10 pour le premier joueur. L'analyse de Kalah (6,6) avec les règles standard est en cours, cependant, il a été prouvé que c'est une victoire par au moins 4 pour le premier joueur. Jeu de L Facilement résoluble. Chaque joueur peut forcer le jeu dans un nul. Qui perd gagne Faiblement résolu comme une victoire pour les blancs en commençant par 1.e315. Maharadjah et cipayes Ce jeu asymétrique garantit une victoire pour le joueur cipayes s'il joue correctement. Jeux de Nim Fortement résolu. Jeu du moulin Résolu par Ralph Gasser (1993). Chaque joueur peut forcer le jeu dans un nul16. Congklak Faiblement résolu par des humains, mais prouvée par les ordinateurs. Dakon, toutefois, n'est pas identique à Congklak, le jeu qui avait effectivement été observé par de Voogt. Pangki Fortement résolu par Jason Doucette (2001)17. Le jeu est un nul. Il y a seulement deux premiers déplacements si vous ne tenez pas compte des positions symétriques. L'une force le nul, et l'autre donne à l'adversaire une victoire forcée en 15. Pentago Fortement résolu18. Le premier joueur gagne. Pentominos Faiblement résolu par Hilarie K. Orman19. C'est une victoire pour le premier joueur. Puissance 4 Résolu d'abord par James D. Allen (1er octobre 1988), et indépendamment par Victor Allis (en) (16 octobre 1988)20. Le premier joueur peut forcer une victoire. Fortement résolu avec la base de données de John Tromp21 (4 février 1995). Faiblement résolu pour tous les plateaux de taille où la somme de la largeur et de la hauteur est d'au plus quinze (15) (et même de taille 8x8 à la fin de 2015)20 (18 février 2006). Quarto Résolu par Luc Goossens (1998). Deux joueurs parfaits font toujours match nul. Tic-tac-toe 3D (en) (ou Qubic) Faiblement résolu par Oren Patashnik (1980) et Victor Allis. Le premier joueur gagne. Jeu de type Renju sans les règles d'ouverture Prétendu comme étant résolu par János Wagner et István Virág (2001). Une victoire du premier joueur. Sim Faiblement résolu : victoire pour le second joueur. Teeko Résolu par Guy Steele (1998). Selon la variante, le premier joueur soit gagne soit obtient nul22. Three Men's Morris (en) Trivialement résoluble. Chaque joueur peut forcer le jeu dans un nul. Les Trois Mousquetaires Fortement résolu par Johannes Laire en 2009. C'est une victoire pour les pièces bleues (les hommes du Cardinal de Richelieu, ou l'ennemi)23. Tic-tac-toe Trivialement résoluble. Chaque joueur peut forcer le jeu dans un nul. Bagh Chal Faiblement résolu par Yew Jin Lim (2007). Le jeu est un nul24.

Un jeu résolu est un jeu dont le résultat (gain, perte ou nul) peut être correctement prédit à partir de n'importe quelle position, en supposant que les deux joueurs jouent à la perfection.Ultra-faible Prouve si le premier joueur va gagner, perdre ou faire match nul à partir de la position initiale, en supposant le jeu parfait des deux côtés. Cela peut être une preuve non-constructive (avec éventuellement une démonstration par vol de stratégie (en)) qui n'a pas besoin de réellement déterminer les mouvements du jeu parfait. Faible Fournit un algorithme qui garantit une victoire pour l'un des joueurs, ou un match nul, contre tous les mouvements possibles de l'adversaire, dès le début du jeu. C'est-à-dire que cette résolution produit au moins un complet jeu idéal (tous les déplacements du début à la fin) avec la preuve que chaque coup est optimal pour le joueur. Cela ne signifie pas nécessairement qu'un programme d'ordinateur utilisant cette résolution jouera de manière optimale contre un adversaire imparfait. Par exemple, le programme de jeu de dames Chinook ne transformera jamais une position de nul en une position perdante (puisque la résolution faible au jeu de dames prouve que c'est un match nul), mais il peut passer d'une position gagnante à une position de match nul parce que Chinook ne s'attend pas à ce que l'adversaire joue un coup qui ne va pas gagner, mais pourrait peut-être perdre, et il n'analyse pas complètement ces mouvements. Forte Fournit un algorithme qui peut produire les coups idéaux à partir de n'importe quelle position, même si des erreurs ont déjà été faites d'un côté ou de l'autre. En dépit de leur nom, de nombreux théoriciens des jeux estiment que les preuves « ultra-faibles » sont les plus profondes, les plus intéressantes et utiles. Les preuves « ultra-faibles » nécessitent un raisonnement érudit sur les propriétés abstraites du jeu, et pour montrer comment ces propriétés mènent à des résultats certains si le jeu parfait est réalisé.[réf. nécessaire] Par contre, les preuves « fortes » procèdent souvent par la force brute — à l'aide d'un ordinateur pour rechercher de manière exhaustive l'arborescence d'un jeu (en) pour comprendre ce qui se passerait si le jeu parfait était réalisé. La preuve résultant de cette recherche donne une stratégie optimale pour chaque position sur le plateau. Cependant, ces preuves ne sont pas utiles dans la compréhension plus profonde des raisons pour lesquelles certains jeux sont résolubles comme match nul, alors que d'autres jeux, en apparence très similaires, sont résolubles vers une victoire. Étant données les règles de jeu à deux avec un nombre fini de positions, on peut toujours trivialement construire un algorithme minimax qui parcourrait de manière exhaustive l'arborescence du jeu. Cependant, du fait que pour beaucoup de jeux non-triviaux un tel algorithme aurait besoin d'une quantité trop importante de temps pour générer un mouvement dans une position donnée, un jeu n'est pas considéré comme résolu faiblement ou fortement, à moins que l'algorithme puisse être mis en œuvre avec le matériel existant dans un délai raisonnable. De nombreux algorithmes s'appuient sur un vaste base de données pré-générées, et, en effet, rien de plus. Comme exemple de résolution solide, le jeu de tic-tac-toe est résoluble comme match nul pour les deux joueurs avec un jeu parfait (un résultat qui est même déterminable à la main par les élèves). Des jeux comme les jeux de Nim admettent aussi une analyse rigoureuse à l'aide de la théorie des jeux combinatoires. Qu'un jeu soit résolu ne signifie pas nécessairement qu'il ne reste pas intéressant à jouer pour les humains. Même un jeu fortement résolu peut toujours être intéressant si sa solution est trop complexe pour être mémorisée ; à l'inverse, un jeu faiblement résolu peut perdre de son attrait si la réussite de la stratégie est assez simple à retenir (par exemple, Le Maharajah et les Sepoys). Une résolution ultra-faible (par exemple Chomp ou Hex sur un plateau suffisamment grand) n'affecte généralement pas la jouabilité. En outre, même si le jeu n'est pas résolu, il est possible que l'algorithme donne une bonne approximation de la solution: par exemple, un article dans Science daté de janvier 2015 annonce que leur version poker Heads up (en) limite les garanties du robot Cepheus de Texas hold 'em poker que la vie d'un joueur humain n'est pas suffisante pour établir statistiquement de façon significative que sa stratégie n'est pas une solution exacte

Le jeu de l'ultimatum (en anglais : ultimatum game) est utilisé en économie expérimentale et se joue de la manière suivante : une première personne (joueur A) se voit attribuer une certaine somme d'argent, et doit décider quelle part elle garde pour elle et quelle part elle attribue à une seconde personne (joueur B). La seconde personne doit alors décider si elle accepte ou refuse l'offre. Si elle la refuse, aucun des deux individus ne reçoit d'argent. Le modèle standard de l'Homo œconomicus postule que les individus poursuivent leur intérêt matériel individuel et agissent de manière rationnelle pour atteindre leurs objectifs. Dans un tel cas de figure, le joueur B devrait accepter toute offre supérieure à zéro de la part du joueur A, et le joueur A, anticipant la réponse du joueur B, devrait faire la plus petite offre positive possible. Ces deux prédictions sont rarement vérifiées et divers chercheurs, notamment des économistes comportementaux ont largement utilisé ce jeu pour tenter d'éclairer le rôle des notions de justice et de réciprocité dans les interactions sociales. Certains chercheurs ont cependant noté le caractère très artificiel de l'expérience, et émis l'hypothèse qu'avec le temps, un phénomène d'apprentissage conduirait les individus à modifier leur comportement1. Mécanismes cérébraux Certaines régions du cerveau (cortex cingulaire antérieur) sont plus fortement activées par les offres injustes que par les offres justes, et ces régions sont plus activées lorsque les offres injustes sont faites par un humain que lorsqu'elles sont faites par un ordinateur. Parmi celles-ci figurent l'insula antérieure bilatérale, impliquée dans les réactions de dégoût, et le cortex préfrontal dorsolatéral, qui joue un rôle dans la cognition. A offre égale, le taux de rejet est plus élevé lorsque l'activation de l'insula est forte, mais le niveau d'activité du cortex préfrontal ne semble pas avoir une influence significative2.