Dans un groupe de 57 personnes, la probabilité pour que deux personnes aient leur anniversaire le même jour est de 99 %.

Ce chiffre est paradoxal, car il contredit l’intuition : on pense qu’il faut au moins 300 personnes pour avoir une probabilité élevée, car dans l’année il y a 365 jours (sans tenir compte des années bissextiles).

La confusion vient de ce que les gens évaluent les chances qu’une personne du groupe soit née à une date précise (par exemple le même jour qu’eux). Sur 57 personnes, ces chances sont faibles (elles sont de 14 %).

En réalité, la question posée n’est pas : quelle est la probabilité pour qu’une personne du groupe soit née le même jour qu’une personne choisie à l’avance, mais est-ce que l’une de ces personnes a un anniversaire commun avec n’importe quelle autre personne du groupe.

Un raisonnement possible pour évaluer le problème est :
- dans un groupe de 2 personnes, il y a 1 paire d’anniversaires
- dans un groupe de 3 personnes, il y a 3 paires d’anniversaires
- dans un groupe de 4 personnes, il y a 6 paires d’anniversaires
...
- dans un groupe de X personnes, il y a X*(X-1)/2 paires d’anniversaires
- dans un groupe de 57 personnes, il y a 57*56/2= 1596 paires d’anniversaires, ce qui est largement supérieur aux 365 dates possibles de l’année : la probabilité de trouver 57 personnes qui ont toutes une date de naissance différente est extrêmement faible.

On va calculer la probabilité pour que, dans un groupe de k personnes, ces personnes aient toutes un jour d'anniversaire différent.
Qd on a 2 personnes, la première peut avoir son anniversaire n'importe quand, la seconde n'importe quel autre jour. On a donc :



Quand on a 3 personnes, la troisième doit avoir son anniversaire un jour différent des 2 autres :



On peut réitérer le raisonnement. Pour un groupe de k personnes, on obtient :



Une petite application numérique donne :

Nombre de personnes / Probabilité pour que les anniversaires tombent tous un jour différent
1 / 1
2 / 0.99
5 / 0.97
10 / 0.88
20 / 0.58
22 / 0.52
23 / 0.49
30 / 0.29
50 / 0.03
366 / 0

Il ne faut donc que 23 personnes pour qu'il y ait plus d'une chance sur 2 pour que 2 personnes aient leur anniversaire le même jour, contrairement à ce que l'intuition laisse présumer. A partir de 50 personnes, il n'y a que 3% de chances que tous les anniversaires diffèrent!

Ce paradoxe des anniversaires, nous le devons au savant et ingénieur austro-hongrois Richard Edler von Mises, né le 19 avril 1883.



Pour plus d'information sur ce paradoxe, n'hésitez pas à consulter les très nombreux sites qui vous fournirons des explications plus vastes et plus détaillées